Question

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（

1

x-t

）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=

1

2

，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer 1

分析：（1）当t=

1

2

时，f（x）-g（x）=log_t[（x-

3

2

）（x-

1

2

）]=logt[(x-1)2-

1

4

]考查函数h（x）=logt[(x-1)2-

1

4

]
在x∈[

5

2

，

7

2

]上的值域，即可
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0可求
（3）利用反证法：假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，由|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1可得-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1，考查函数G（x）=log_t（x²-4tx+3t²在[t+2，t+3]上的单调性，从而可求G（x）_max=log_t（4-4t），G（x）_min=log_t（9-6t），则有0＜t＜1，log_t（4-4t）≤1，log_t（9-6t）≥-1，可求

解答：解：（1）当t=

1

2

时，f（x）-g（x）=log_t[（x-

3

2

）（x-

1

2

）]=logt[(x-1)2-

1

4

]
令h（x）=logt[(x-1)2-

1

4

]
当x∈[

5

2

，

7

2

]时，h（x）∈[log6，-1]
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）与g（x）是否在给定区间上是非接近的
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1                                                
（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|
假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，
则有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1    
令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），当∴0＜t＜1时，[t+2，t+3]在x=2t的右侧，
即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），在[t+2，t+3]上为减函数，
∴G（x）_max=log_t（4-4t），
∴G（x）_min=log_t（9-6t）
所以由（*）式可得0＜t＜1，log_t（4-4t）≤1，log_t（9-6t）≥-1，解得
0＜t≤

9- 57

12

因此，当0＜t≤

9- 57

12

时，f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的；当t＞

9- 57

12

时，
f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）

点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能灵活应用