Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．

(1) 求证：直线DE∥平面A1C1F；

(2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由三角形中位线性质及棱柱性质得DE∥A1C1，再根据线面平行判定定理得结论（2）先由直三棱柱性质得A1A⊥平面A1B1C1，即A1A⊥A1C1，又已知A1C1⊥A1B1,所以由线面垂直判定定理得A1C1⊥平面ABB1A1,即A1C1⊥B1D．再由已知B1D⊥A1F，结合线面垂直判定定理得B1D⊥平面A1C1F．最后根据面面垂直判定定理得平面B1DE⊥平面A1C1F．

试题解析：证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC．

在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE∥AC，于是DE∥A1C1，

又∵DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，

∴直线DE∥平面A1C1F．

(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，

∵A1C1平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，AA1平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1．

∵B1D平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D．

又∵B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F．

∵B1D平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．