Question

（本题满分15分）如图，已知直线（）与抛物线：和圆：都相切，是的焦点．

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）设是上的一动点，以为切点作抛物线

的切线，直线交轴于点，以、为

邻边作平行四边形，证明：点在一条

定直线上；

  （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为，

直线与轴交点为，连接交抛物线

于、两点，求△的面积的取值范围．

Answer 1

（本题满分15分）

解：（Ⅰ）由已知，圆： 的圆心为，半径．

由题设圆

心到直线的距离． 

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

设与抛物线的相切点为，又，   

得，．    

代入直线方程得：，∴    ……………………………………（4分）

所以，．      ……………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（1）知抛物线方程为，焦点．   ………………（6分）

设，由（1）知以为切点的切线的方程为

．      ………………………………………（7分）

令，得切线交轴的点坐标为      ……………………（8分）

所以，，   

∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，

∴，     ……………………………………………（9分）

因为是定点，所以点在定直线上．     ………………………（10分）

（Ⅲ）设直线,                 ………………………………（11分）

代入得，  ………………………………………（12分）

得，                 ……………………………（13分）

，………（14分）

．△的面积范围是．…………………………………………（15分）