题目内容

(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面与平面所成角的正切值依次是依次是的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

 

【答案】

(1)见解析;(2)直线与平面所成角的正弦值为

【解析】本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。

(1)第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直,然后利用判定定理得到。

(2)第二问先根据线面角的定义,作出线面角,然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

解:(1)∵与平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面   ∴

的中点    ∴

         …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中点中点,联结

是平行四边形,

即为直线与平面所成的角.  在中,,

∴直线与平面所成角的正弦值为

解法二:分别以轴、轴、轴建立空间直角坐标系,依题意,,则各点坐标分别是

,∴,

又∵平面

∴平面的法向量为

设直线与平面所成的角为,则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.    …………………………15分

解:(1)∵与平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面   ∴

的中点    ∴

         …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中点中点,联结

是平行四边形,

即为直线与平面所成的角.  在中,,

∴直线与平面所成角的正弦值为

解法二:分别以轴、轴、轴建立空间直角坐标系,依题意,,则各点坐标分别是

,∴,

又∵平面

∴平面的法向量为

设直线与平面所成的角为,则

,         

∴直线与平面所成角的正弦值为.    …………………………15分

 

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