Question

【题目】如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2 ， 过点A且斜率为 的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P且斜率大于 的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因为BF1⊥x轴，得到点 ，

所以 ，所以椭圆C的方程是 ．

（Ⅱ）因为 ，

所以 ．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立方程 得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得 （*）

又 ，有 ，

将 代入（*）可得： ．

因为 ，有 ，

则 且λ＞2 ．

综上所述，实数λ的取值范围为 ．

【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．

（Ⅱ）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到 ．设MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程 ，利用韦达定理，求出 ，解出 ，将 椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．