题目内容
设椭圆
过点
，离心率为
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线
与椭圆相交与两不同点
时，在线段
上取点
，满足
=
，证明：点的轨迹与无关．
解（Ⅰ）由题意解得
，所求椭圆方程为 
．…………4分
（Ⅱ）方法一
设点Q、A、B的坐标分别为
．
由题设
,
则
且
．
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
，…………14分
点
总在定直线
上．即点的轨迹与无关．…………15分
方法二
设点
，由题设 
=．
又 
四点共线，可得
,…………6分
于是
（1）
（2）
由于
在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程
整理得
（3）
(4)
…………10分
(4)－(3) 得 
，
，…………14分
点总在定直线
上．即点的轨迹与无关．…………15分
练习册系列答案
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过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
．点
为直线
上且不在
轴上的任意一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
，
为坐标原点．设直线
、
．
；
上是否存在点
、
、
、
的斜率
、
、
、
满足
？若存在，求出所有满足条件的点
过点.
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
.点
为直线
上且不在
轴上的任意一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
，
为坐标原点.
、
. 证明：
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为F1、F2。点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点。
；
过点
，离心率为
．
=λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．