Question

设椭圆过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足=λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据离心率求得c，a的关系，则根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得；
（Ⅱ）先设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设=λ．又P，A，Q，B四点共线，可得结合A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆C上，得到2x+y-2=0最后根据点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．
解答：解（Ⅰ）由题意解得a²=4，b²=2，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设=λ．
又P，A，Q，B四点共线，可得，
于是（1）（2）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．