题目内容

9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若-1，S5，S10成等差数列，则S10-2S5=1，S15-S10的最小值为4．

分析 由题意和等差数列易得第一问；再根据S5，S10-S5，S15-S10为等比数列，可得S15-S10为S5的式子，由基本不等式可得第二问．

解答 解：∵-1，S5，S10成等差数列，
∴2S5=S10-1，∴S10-2S5=1，
又由等比数列的性质可得S5，S10-S5，S15-S10为等比数列，
∴S5（S15-S10）=（S10-S5）2，
∴S15-S10=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{（1+2{S}_{5}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$
=S5+$\frac{1}{{S}_{5}}$+2≥2$\sqrt{{S}_{5}•\frac{1}{{S}_{5}}}$+2=4，
当且仅当S5=$\frac{1}{{S}_{5}}$即S5=1时取等号，
∴S15-S10的最小值为4，
故答案为：1；4．

点评 本题考查等比数列的求和公式的性质，涉及基本不等式求最值，属中档题．

练习册系列答案
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