Question

已知，a∈R，f（x）为奇函数，且f（2x）=

a-4x

4x+1

．
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）当x∈（r，k）时，f^-1（x）的值域为（-

1

2

，+∞）  求k，r的值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的解析式，根据奇函数可求出a的值，求出函数值域即为反函数的定义域，然后反解出x，将x与y互换即可求出所求；
（2）根据函数的值域，结合函数的图象建立方程组，解之即可求出．

解答：解：（1）∵f（2x）=

a-4x

4x+1

=

a-22x

22x+1

．∴f（x）=

a-2x

2x+1

又因f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0
即

a-2-x

2-x+1

+

a-2x

2x+1

=

(a-1)•2x+(a-1)

2x+1

=0恒成立，
∴a=1
∴f（x）=

1-2x

2x+1

令t=2x，则t＞0，∴f（t）=

1-t

t+1

可得f（x）的值域为（-1，1），反解x可得x=log₂

1-y

y+1

即f^-1（x）=log₂

1-x

x+1

，定义域为（-1，1）
（2）令y=log₂t，t=

1-x

x+1

，又因y＞-

1

2

∴t＞

2

2

结合t=

1-x

x+1

的图象分析可得

1-k 1+k = 2 2 r=-1

解得k=3-2

2

，r=-1

点评：本题主要考查了反函数，以及函数的基本性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．