Question

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（1）求，的方程；
（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
①证明：；
②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。

Answer 1

（1）
（2）①见解析      ②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和

（1）由题意知，从而，又，解得。
故，的方程分别为。
（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是。
又点的坐标为，所以

故，即。
②设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为
又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标
于是
因此
由题意知，解得 或。
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。