Question

在曲线y=x³－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标.

Answer 1

解法一:∵k_OA=3,∴过弧OA上点P的直线的斜率k′=k_OA=3.                      2分

∴k′=y′=3x²－1=3.∴3x²=4.                                                                   6分

∴x=或x=－(舍去).                                                                   8分

∴x=, y=, 即P(,).                                                     10分

解法二:设P(a,a³－a), ∵O(0,0),A(2,6), ∴直线OA的方程为3x－y=0.

点P到它的距离d=

∵0<a<2,∴4a>a³. ∴d²=(4a－a³).

把d²视作一个整体, ∵(d²)′=(4－3a²),

令4－3a²=0,得a=或a=－.

又∵0<a<2, ∴a=时取最大值.

此时y=()³－=. ∴P(,).

解析:

本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P的位置转化到与曲线y=x³－x相切且与OA平行的位置,此时点P到|OA|的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.