Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E为BC的中点．
（1）求点C到面PDE的距离；  
（2）求直线PC与面PDE所成角的正弦值；
（3）探究：在线段BC上是否存在点N，使得二面角P-ND-A的平面角大小为

π

4

．试确定点N的位置．

Answer 1

分析：（1）几何法：连接AE，设点C到面PDE的距离为d，利用等体积转化法V _P-CDE=V _C-PDE，
（2）由（1）直线PC与面PDE所成角的正弦值sinθ=

d

BC

=

1

6

（3）坐标法：建立空间直角坐标系，通过平面PND的法向量，平面AND的一个法向量夹角求解．

解答：解（1）几何法：连接AE，易得AE=DE=

2

，而AD=2，∴△ADE为直角三角形，故AE⊥DE．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DE，DE⊥面APE，PE⊥DE
，S_△PED=

1

2

PE•PD=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

，又S_△ECD=

1

2

CE•CD=

1

2

，
由V _P-CDE=V _C-PDE，设点C到面PDE的距离为d，
则

1

3

S_△ECD•PA=

1

3

S_△PED•d，得d=

6

6

…（4分）
（2）由（1）直线PC与面PDE所成角的正弦值sinθ=

d

BC

=

1

6

…（8分）
（3）坐标法：建立如图所示，空间直角坐标系，
设N（1，a.0）（0＜a＜2），则

PN

=（1，a，-1），

PD

=（0，2，-1），
设

n

=（x，y，z）为平面PND的法向量，则

n •PN=0 n • PD =0

，得

x+ay-z=0 z=2y

取y=1，则
则设

n

=（2-a，1，2）|

n

|=

a2-4a+9

又AP⊥面AND，所以

AP

=（0，0，1）为为平面AND的一个法向量．
由题意：cos

π

4

=

n • AP

|n|| AP|

=

2

a2-4a+9

=

2

2

得a²-4a1=0解得：a=2-

3

即点N在线段BC上距B点的2-

3

处．                          …（12分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．