Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为

（2，±2

2

）．

．

Answer 1

分析：设A（

1

4

t²，t），根据抛物线的定义算出|AM|=

1

4

t²+1，而△AMF与△AOF的高相等，故面积比等于|AM|：|OF|=3，由此建立关于t的方程，解之得t=±2

2

，即可得到点A的坐标．

解答：解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
准线l方程为x=-1．设A（

1

4

t²，t），则
根据抛物线的定义，得|AM|=

1

4

t²+1，
∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，
∴|AM|：|OF|=

1

4

t²+1=3，可得t²=8，解之得t=±2

2

∴点A的坐标为（2，±2

2

）．
故答案为：（2，±2

2

）．

点评：本题给出抛物线中的三角形面积比，求点的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于中档题．