题目内容
设函数f(x)=
+lnx在[1，+∞）上是增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：
＜ln
＜
．
| 1-x |
| ax |
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
分析：（1）求出f（x）的导函数，因为函数在[1，+∞）上是增函数，即导函数大于等于0对x属于[1，+∞）恒成立，令导函数大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒数，求出x倒数的最大值即可得到实数a的范围；
（2）设x等于
，由b大于0，a大于1，得出
大于1，根据函数在[1，+∞）上是增函数，得到f（
）大于f（1），化简可得ln
＞
；设G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的导函数，根据x大于1得到导函数大于0，所以G（x）为增函数，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到
＞ln
，综上，得证．
（2）设x等于
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
解答：解：（1）f′(x)=
≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥
对x∈[1，+∞）恒成立，
又
≤1，
∴a≥1为所求；
（2）取x=
，
∵a＞1，b＞0，∴
＞1，
一方面，由（1）知f(x)=
+lnx在[1，+∞）上是增函数，
∴f(
)＞f(1)=0
∴
+ln
＞0
即ln
＞
；
另一方面，设函数G（x）=x-lnx（x＞1），
G′(x)=1-
=
＞0(∵x＞1)，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函数且在x=x0处连续，又G（1）=1＞0，
∴当x＞1时，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即
＞ln
，
综上所述，
＜ln
＜
．
| ax-1 |
| ax2 |
∴a≥
| 1 |
| x |
又
| 1 |
| x |
∴a≥1为所求；
（2）取x=
| a+b |
| b |
∵a＞1，b＞0，∴
| a+b |
| b |
一方面，由（1）知f(x)=
| 1-x |
| ax |
∴f(
| a+b |
| b |
∴
1-
| ||
a•
|
| a+b |
| b |
即ln
| a+b |
| b |
| 1 |
| a+b |
另一方面，设函数G（x）=x-lnx（x＞1），
G′(x)=1-
| 1 |
| x |
| x-1 |
| x |
∴G（x）在（1，+∞）上是增函数且在x=x0处连续，又G（1）=1＞0，
∴当x＞1时，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
综上所述，
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用函数的单调性解决实际问题，是一道综合题．
练习册系列答案
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设函数f(x)=
，则
（a≠b）的值是（ ）
|
| (a+b)-(a-b)f(a-b) |
| 2 |
| A、a | B、b |
| C、a，b中较小的数 | D、a，b中较大的数 |
设函数f(x)=
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| 1-x |
| 1+x |
A、-
| ||
B、-
| ||
| C、-1 | ||
| D、-2 |
设函数f(x)=
，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（ ）
|
| A、a＜0 | B、0≤a＜1 |
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