Question

已知函数，在时取得极值．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时,恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）     2分
依题意得，所以，从而       4分
（Ⅱ）令，得或（舍去），
当时，当
由讨论知在的极小值为；最大值为或，因为，所以最大值为，所以    ……8分
（Ⅲ）设,即，．
又，令，得；令，得．
所以函数的增区间，减区间．
要使方程有两个相异实根，则有
，解得    12分
点评：第一问利用函数在极值点处的导数为零得到系数的值，第二问第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，进而利用函数导数求单调性求极值最值。这种转化思路在函数题目中经常用到，要加强这方面的训练