Question

已知F1、F2是椭圆

x2

50

+

y2

25

=1的两个焦点，P是椭圆上一点．
（1）求△PF₁F₂的周长．
（2）若∠F1PF2=

π

3

，求△PF1F2的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆标准方程得出a，b，c，由题意可知△PF₁F₂周长=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c，进而计算可得△PF₁F₂的周长；
（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|F₁P|=x，|PF₂|=y，利用余弦定理可求得xy的值，最后利用三角形面积公式求解．

解答：解：（1）由题意知：
椭圆的a=5

2

，b=5，c=5，
△PF₁F₂周长=2a+2c=10

2

+10．
（2）：设|F₁P|=x，|PF₂|=y，c=5，
∴|F₁F₂|=10，x+y=10

2

，
在△PF₁F₂中利用余弦定理可得cos

π

3

=

x2+y2-100

2xy

=

200-2xy-100

2xy

=

1

2

求得xy=

100

3

，
∴△PF₁F₂的面积为

1

2

×sin

π

3

×xy=

1

2

×

3

2

×

100

3

=

25 3

3

．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．