Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距离；
（3）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面A₁ABB₁
∵CB∈平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）依题意的：A₁B=2，AB₁=2，B₁C=，A₁C=
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁CB，BC?平面A₁CB
∴B₁C₁∥平面A₁CB
则B₁C₁到平面A₁CB的距离等于点C₁到平面A₁CB的距离为 H′
∵△A₁CB的面积S₁=1
∵AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁
∴AB₁⊥平面A₁CB
∴三棱锥C₁-A₁CB的体积等于三棱锥B₁-A₁CB的体积
∴H′=AB₁=
即B₁C₁到平面A₁CB的距离等于
（3）设A₁到平面BCC₁B₁的距离为H
∴平行四边形BCC₁B₁的面积S=2，
则△A₁B₁C₁的面积为1，BB₁=2．
由棱锥A₁-BCC1B1的体积等于棱锥B-A₁B₁C₁的体积，
得：H=
∴sinθ=
∴直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值 tanθ=
分析：（1）由已知中四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，我们易由线面垂直的判定定理得到CB⊥平面A₁ABB₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）根据（1）的结论，及AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°，我们易求出几何体中各线段的长，由线面平行的判定定理，可得到B₁C₁∥平面A₁CB，则B₁C₁到平面A₁CB的距离可转化为B₁C₁上任一点（如B₁点）平面A₁CB的距离，利用等体积法，可得到结论．
（3）要求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角，我们可根据（2）的结论，计算出A₁点到平面BCC₁B₁距离，结合A₁C=，利用线面夹角的定义，构造三角形即可求出答案．
点评：本题考查的知识点是点到平面的距离计算，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（2），（3）中的等体积法，是转化思想在解答点到平面距离问题中最常用的方法．