Question

已知a＞1，f(x)=ax-

1

ax

．
（1）证明f（x）在（-∞，+∞）是增函数；
（2）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；
（3）若f（x）满足a=2，且x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导数f′（x），通过讨论f′（x）的符号，发现导数恒为正数，所以函数为在（-∞，+∞）上的增函数；
（2）解f（x）=0，可得a^x=1，故函数的零点为x=0；
（3）先证出函数为奇函数，将不等式变形为f（1-m）＜f（m²-1），最后根据函数的单调性和定义域，可以求出符合题意的m的取值范围．

解答：解：（1）f/(x)=axlna- (

1

a

) xln

1

a

=a xlna+a -xlna=lna（a^x+a^-x）
因为a＞1，所以lna为正数，
又∵a^x+a^-x＞0
∴f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）令ax-

1

ax

=0，得a^x=1（舍-1）
∴x=0，即函数有一个零点为x=0
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，+∞）上有且只有一个零点x=0
（3）∵f(-x)=a -x-

1

a-x

=

1

ax

-a x=-f(x)
∴f（x）是奇函数
故不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0可以变形为f（1-m）＜f（m²-1），
根据函数为（-1，1）上的增函数，可得

-1＜1-m＜1 -1＜m 2-1＜1 1-m＜m 2-1

，所以1＜m＜

2

点评：本题考查的知识点是指数函数综合应用，函数的单调性、奇偶性的综合应用，其中熟练掌握函数的性质，将题目中的不等式转化为熟知的不等式式并进行解答是本题的关键．