Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+m（m∈R）的图象过点M（

π

12

，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移

π

2

个单位，得函数g（x）的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g（x）取得最大值，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将M坐标代入f（x）计算求出m的值，确定出f（x）的解析式，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移

π

2

个单位，确定出g（x）解析式，由x=B时，g（x）取得最大值，求出B的度数，得到cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式化简后把a+c的值代入求出b的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）+m=sin（2x-

π

6

）+m-

1

2

，
∵点M（

π

12

，0）在函数f（x）的图象上，
∴sin（2×

π

12

-

π

6

）+m-

1

2

=0，
解得：m=

1

2

，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数 f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）g（x）=sin（x+

π

2

-

π

3

）=sin（x+

π

6

），
∵当x=B时，g（x）取得最大值，
∴B+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴B=

π

3

，
由余弦定理可知 b²=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥16-3（

a+c

2

）²=16-12=4，
∴b≥2，
又b＜a+c=4．
∴b的取值范围是[2，4）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，正弦函数的增减性，以及基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．