Question

为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成60°角的直线型轨道上运动的情况，如图所示，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道l₁、l₂按箭头的方向运动．问：
（1）运动开始前，A、B的距离是多少米？（结果保留三位有效数字）．
（2）几分钟后，两个小球的距离最小？

Answer 1

分析：（1）运动开始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°，利用余弦定理算出AB²的值，即可得到A、B之间的距离；
（2）利用余弦定理，分当0≤t≤

3

4

和当t＞

3

4

两种情况加以讨论，再综合可得（A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0），结合二次函数的图象与性质，可得当t=

1

4

时，有最小值，两个小球的距离同时达到最小．

解答：解：（1）运动开始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°
∴AB²=AO²+BO²-2AO•BOcos60°
由此可得小球开始运动前的距离为：AB=

32+12-2×3×1×cos60°

=

7

≈2.65(m)
（2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A'、B'处，则AA'=4t，BB'=4t．
当0≤t≤

3

4

时，（A'B'）²=（3-4t）²+（1+4t）²-2•（3-4t）•（1+4t）•cos60°=48t²-24t+7
当t＞

3

4

时，（A'B'）²=（4t-3）²+（1+4t）²-2•（4t-3）•（1+4t）•cos120°=48t²-24t+7
故 （A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0）
∵(A′B′)2=48(t-

1

4

)2+4(t≥0)
∴当t=

1

4

，（A'B'）_min=2（m）
即

1

4

分钟后两个小球的距离最小，最小值为2m．

点评：本题给出实际问题，求两个动点之间距离的最小值，着重考查了余弦定理、二次函数的值域与最值和进行简单的演绎推理等知识点，属于中档题．