Question

已知数列{a_n} （n∈N^*）是首项为a，公比为q≠0的等比数列，S_n是数列{a_n} 的前n项和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅰ）当公比q取何值时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列，结合等比数列的性质及求和公式可求q，然后代入检验即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求：na_3n-2=，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可
解答：解：（Ⅰ）由题意可知，a≠0
①当q=1时，则12s₃=36a，s₆=6a，s₁₂-s₆=6a，
此时不满足条件12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；…（1分）
②当q≠1时，则，s₆=
s₁₂-s₆=
由题意得：12×=
化简整理得：（4q³+1）（3q³-1）（1-q³）（1-q⁶）=0
解得：或或q=-1…（4分）
当q=-1时，a₁+3a₄=-2a，2a₇=2a，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），不满足条件；
当时，，，
即∴a₁+3a₄=2（2a₇），所以当q=-时，满足条件
当时，，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），从而当时，不满足条件
综上，当q=时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：na_3n-2=
所以…①
则=…②
①-②得：
=
所以T_n=．…（13分）
点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的应用，错位相减求和方法的应用，体现了分类讨论思想的应用