Question

设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为

（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：⑴              ------------------2分  

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

∴-      ------------------4分

（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

解：由

则

-------------------5分

当时，

当时，-------------------6分

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为-------------------8分

要使对于一切的正整数恒成立，

只需

∴-------------------9分

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

解：--------------10分

将代入，化简得，（﹡）-------------------11分

若时，显然-------------------12分

若时     （﹡）式

化简为不可能成立-------------------13分  

综上，存在正整数使成立. - --------------14分