Question

x，y，z，a均大于1，且log_a^xyz=9，求证：log_x^a+log_y^a+log_z^a≥1．

Answer 1

分析：先利用对数的换底公式将log_a^xyz=9化成和式，再结合三元的均值不等式得到（log_ax+log_ay+log_az）（log_x^a+log_y^a+log_z^a）≥9，从而得证．

解答：解：由log_a^xyz=9，得
log_ax+log_ay+log_az=9，
∵（log_ax+log_ay+log_az）（log_x^a+log_y^a+log_z^a）≥9，
∴log_x^a+log_y^a+log_z^a≥1．
得证．

点评：本题考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．