Question

已知函数f（x）=|2^x-1|，当a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c），那么正确的结论是（　　）

• A、2^a＞2^b
• B、2^a＞2^c
• C、2^-a＜2^c
• D、2^a+2^c＜2

Answer 1

分析：函数f（x）=|2^x-1|，可得f（x）=

2x-1，x≥0 1-2x，x＜0

．画出函数图象．利用函数图象的单调性和已知条件可得：当0≤a＜b＜c时，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．当a＜0＜c时，1-2^a＞2^c-1，化为2^a+2^c＜2；当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（-∞，0]上也满足2^a+2^c＜2．

解答：解：∵函数f（x）=|2^x-1|，∴f（x）=

2x-1，x≥0 1-2x，x＜0

．
画出函数图象，
可知：函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
当0≤a＜b＜c时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．
当a＜0＜c时，1-2^a＞2^c-1，化为2^a+2^c＜2；
当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（-∞，0]上单调递减．∴1＞1-2^a＞1-2^c≥0，∴2^c≤1，2^a＜1，
∴2^a+2^c＜2．
综上可知：D一定正确．
故选：D．

点评：本题考查了分段函数的图象与性质、分类讨论、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于难题．