Question

若存在过点（0，a）的直线与曲线y=x³和y=

9

8

x2都相切，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：已知点（1，0）不在曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+

15

4

x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值即可．

解答：解：由y=x³?y'=3x²，
设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
（1，0）代入方程得x₀=0或 x0=

3

2

①当x₀=0时，切线方程为y=0，则 ax2+

15

4

x-9=0，△=(

15

4

)2-4a×(-9)=0?a=-

25

64

②当 x0=

3

2

时，切线方程为 y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

?ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0?a=-1∴a=-

25

64

或a=-1．
故答案为：-

25

64

或-1．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax²+bx+c的式子，注意应讨论a是否为0，考查了分类讨论的数学思想．