Question

若存在过点（0，a）的直线与曲线y=x³和都相切，则a的值为________．

Answer 1

-或-1
分析：已知点（1，0）不在曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值即可．
解答：由y=x³?y'=3x²，
设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
（1，0）代入方程得x₀=0或
①当x₀=0时，切线方程为y=0，则 ，
②当 时，切线方程为 ，由 ，∴或a=-1．
故答案为：-或-1．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax²+bx+c的式子，注意应讨论a是否为0，考查了分类讨论的数学思想．