Question

设数列{a_n}的前n项和为b_n，数列{b_n}的前n项积为c_n，且恒有b_n+c_n=1，则数列{}中最接近2011的是第    项．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，依次求出数列{a_n}的前几项，进而归纳出{a_n}的通项公式，具体为当n=1时，有a₁=b₁，b₁=c₁，则a₁=b₁=c₁，又由b_n+c_n=1，则b₁=c₁=，进而可得a₁=；n=2时，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁的值，可得b₂的值，结合b₂=a₁+a₂，可得a₂=；同理可得a₃=；a₄=；可以归纳出a_n=；令n（n+1）=2011；解可得n≈44.3；即最接近2011的是与，计算两者的大小，比较可得答案．
解答：解：根据题意，有b_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，c_n=b₁×b₂×b₃×…×b_n，
n=1时，有a₁=b₁，b₁=c₁，则a₁=b₁=c₁，
又由b_n+c_n=1，则b₁=c₁=，进而可得a₁=；
n=2时，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁=，
易得b₂=，
又由b₂=a₁+a₂，可得a₂=；
同理可得：a₃=；a₄=；…
猜想a_n=；
则=n（n+1）；
令n（n+1）=2011；
解可得n≈44.3；
n=44时，=44×45=1980，
n=45时，=45×56=2070，
比较可得，比较接近2011；
故答案为44．
点评：本题考查数列的递推公式的运用、归纳推理的运用；解题的关键在于归纳出{a_n}的通项公式．