Question

已知：数列的前项和为，若，

（Ⅰ）求证：是等差数列；

（Ⅱ）若，

求证：

Answer 1

证明：（Ⅰ）当时，              ①

                                ②

①-②得：

∴                         ③………………2分

                          ④

④-③得：

…………………………………………3分

∴…………………………………………4分

即：

∴是等差数列；…………………………………………5分

（Ⅱ）证法一：由得：

…………………………………………6分

设公差为，则，

∴…………………………………………7分

∴

…………………………………………10分

因此，…………………………………12分

证法二：（数学归纳法）

当时， 不等式成立，…………6分

假设时，不等式成立，

即………………………………7分

那么时，

…………8分

………………………………………………………………11分

即时，不等式也成立，

由①②得，不等式恒成立. …………………………………………………………12分