Question

已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F₂，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F₁连结起来，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

Answer 1

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离

d=|x₁+|=x₁+，由双曲线的定义，=e=,∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,

同理，|BF₁|=x₂+2,∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4    (1)

双曲线的右焦点为F₂(,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，

由消去y得  (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,

∴x₁+x₂=,  x₁x₂= ─, 代入(1)整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>;

(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F₁A|·|F₁B|=

由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F₁A|·|F₁B|  取最大值

解析:

点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF₁|=(x₁+)=x₁+2，|BF₁|=x₂+2,

|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4 ，将直线方程和双曲线的方程联立消元，得x₁+x₂=,  x₁x₂= ─.本题要注意斜率不存在的情况.