Question

已知函数y=

mx2+4 3 x+n

x2+1

的最大值为7，最小值为-1，求此函数式．

Answer 1

分析：先去分母把其整理成关于X的一元二次方程的形式，再根据方程必然有实数根得到△=48-4（y-m）（y-n）≥0；最后根据函数y=

mx2+4 3 x+n

x2+1

的最大值为7，最小值为-1得到-1和7是方程y²-（m+n）y+mn-12=0的两个实数根；再结合根与系数的关系即可得到答案．

解答：解：y(x2+1)=mx2+4

3

x+n，(y-m)x2-4

3

x+y-n=0
显然y=m可以成立，当y≠m时，方程(y-m)x2-4

3

x+y-n=0
必然有实数根，
∴△=48-4（y-m）（y-n）≥0，
即y²-（m+n）y+mn-12≤0，而-1≤y≤7
∴-1和7是方程y²-（m+n）y+mn-12=0的两个实数根
则

m+n=6 mn-12=-7

，m=1，n=5
∴y=

x2+4 3 x+5

x2+1

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．