Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）x²为偶函数，欲判函数f（x）=x²+

a

x

的奇偶性，只需判定

a

x

的奇偶性，讨论a判定就可．
（2）处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x21+

a

x1

-x22-

a

x2

=

(x1-x2)

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．
又∵x₁+x₂＞4，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．

点评：单调性的证明步骤：
取值（在定义域范围内任取两个变量，并规定出大小）
做差（即f（x₁）-f（x₂），并且到“积”时停止）
判号（判“积”的符号）
结论（回归题目）