Question

抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点的距离相等，圆是以为圆心，同时与直线和相切的圆，

（Ⅰ）求定点的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线和交于、两点，且中点为；

② 被圆截得的弦长为2．

Answer 1

，不存在

解析:

（1）抛物线的准线的方程为

根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，

 定点N的坐标为 

（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，

设的方程为，    以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，

方法1：被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1， 

即，解得，

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！当时，的方程为 

由，解得点A坐标为，              

由，解得点B坐标为，

显然AB中点不是，矛盾！ 不存在满足条件的直线．

方法2：由，解得点A坐标为，由，解得点B坐标为，

AB中点为，，解得，   

的方程为，

圆心N到直线的距离，                 

被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1，矛盾！

不存在满足条件的直线．

方法3：假设A点的坐标为，

AB中点为，B点的坐标为，

又点B 在直线上，，              

A点的坐标为，直线的斜率为4，

的方程为，

圆心N到直线的距离，                   

被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1，矛盾！

不存在满足条件的直线．