Question

在△ABC中，已知a²+b²-ab-c²=0，且

b

a

=

3 +1

2

，则A=

45°

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知第一个等式变形后代入，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而得到A+B的度数，用A表示出B，再根据正弦定理化简第二个等式，把表示出的B代入，并利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，根据同角三角函数间的基本关系得到tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：解：∵a²+b²-ab-c²=0，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又C为三角形的内角，
∴C=60°，即A+B=120°，
∴B=120°-A，
根据正弦定理得

sinB

sinA

=

sin(120°-A)

sinA

=

b

a

=

3 +1

2

，
整理得：

3

cosA+sinA=

3

sinA+sinA，
解得：sinA=cosA，即tanA=1，又A为三角形的内角，
∴A=45°．
故答案为：45°

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．