Question

设函数f（x）=x²+2ax﹣ln（1+x）+1．
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x﹣y+b=0，求实数a，b的值； （2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=x²+（2a﹣）x+（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，f '（0）=1
∴2a﹣1=1，
∴a=1
∵f（0）=1，函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x﹣y+b=0，
∴b=1，
故a=1，b=1．
（2）当时，f（x）=x²+x﹣ln（1+x）+1，定义域为（﹣1，+∞）
求导函数
令，且x＞﹣1，
可得x≥0，
令，x＞﹣1，可得﹣1＜x≤0，
∴函数f（x）的单调增区间为[0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0]
（3）方程f（x）=x²+（2a﹣）x+（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，等价于x﹣2ln（1+x）﹣a+1=0在[0，2]上有两个不等实根
设g（x）=x﹣2ln（1+x）﹣a+1=0，x∈[0，2]，则

令g'（x）＞0，x＞﹣1可得x＞1，
令g'（x）＜0，x＞﹣1，可得﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）在[0，1）上单调减；在（1，2]上单调增区间
∴，
∴
∴2﹣2ln2＜a＜3﹣2ln2
∴实数a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln2）．