Question

8．已知函数f（x）=xe^x+5．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）在[0，1]上的值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0得x=-1，
令f′（x）＞0得x＞-1，
∴f（x）的增区间为（-1，+∞）．
令f′（x）＜0得x＜-1，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1）．
（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]上递增，
∴f（x）_min=f（0）=5，f（x）_max=f（0）=e+5，
∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．