Question

已知各项均不相等的等差数列的前四项和为14，且恰为等比数列的前三项．

(1)分别求数列，的前项和，；

(2)记为数列的前项和为，设，求证：.

Answer 1

解析：(1)设公差为d，则，

解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，

所以an＝n＋1，Sn＝，bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.（4分）

(2)因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①

故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②

①－②，得

－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，

所以Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝，

cn＋1－cn＝－＝＞0，

所以cn＋1＞cn(n∈N*)．