Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a为常数），若直线l与y=f（x），y=g（x）的图象都相切，且l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当k≥

1

2

时，讨论关于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1，求出切点坐标，再根据函数在切点处的切线斜率是该点处的导数，求出切线斜率，利用点斜式写出切线方程．根据直线l与y=g（x）的图象也相切，联立方程，方程组有一解，就可求出a的值．
（Ⅱ）化简h（x）=f（x+1）-g'（x），求导，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（Ⅲ）把方程f（x²+1）-g（x）=k左边看做一个函数，右边看做一个常函数，要求方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数，只需看两个函数图象有几个交点即可．利用导数求出左边函数的极大值与极小值，再按k讨论两个函数的图象交点即可．

解答：解（I）f′(x)|x=1=

1

x

|x=1=1，
∴k₁=1，切点为（1，f（1））=（1，0）
∴l的方程为y=x-1
∵l与g（x）相切，
∴由

y=x-1 y= 1 2 x2+a

得

1

2

x2+a=x-1，
又△=0，∴a=-

1

2

…（4分）
（Ⅱ）h(x)=ln(x+1)-(

1

2

x2-

1

2

)′=ln(x+1)-x(x＞-1)
∴h′(x)=

1

x+1

-1
令h'（x）＞0，∴

1

x+1

＞1，∴-1＜x＜0
∴增区间为（-1，0]
（Ⅲ）令y1=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，y₂=k
∵y′1=

2x

1+x2

-x=

-x(x-1)(x+1)

1+x2

∴y_1极大=ln2（当x=±1时取得）∴y1极小=

1

2

（当x=0时取得） 
∴k∈（ln2，+∞）时，无解；k=ln2时，有两解；k=

1

2

时，有三解；

1

2

＜k＜ln2时，有四解

点评：本题主要考查了利用导数求函数的切线的斜率，函数的极值的应用．