题目内容

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且 $数学公式$ ．
（1）求角A的大小及角B的取值范围；
（2）若 $数学公式$ ，求b²+c²的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 即b²+c²-a²=bc
得 $\text{[math]}$ ，A∈（0， $\text{[math]}$ ）
故 $\text{[math]}$ ．
又∵△ABC是锐角三角形，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，∴b=2sinB，c=2sinC
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）=4-2（cos2B+cos2C）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，b²+c²取得最大值6．
当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，b²+c²取得最小值5．
故所求b²+c²的取值范围是（5，6]．
分析：（1）利用正弦定理，将 $\text{[math]}$ 中的角化为边，得b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理即可得角A，再由三角形ABC为锐角三角形，求得角B的取值范围；
（2）利用正弦定理将b²+c²转化为三角函数，再利用三角变换公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用（1）中角B的取值范围求函数值域即可
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的值域的求法，利用定理实现边角间的互化是解决本题的关键，