题目内容
在△ABC中，已知
•
=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且
=x．
+y•
，则
+
的最小值为（ ）
| AB |
| AC |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC=0 即C=90°，再由
•
=9，S△ABC=6可得bccosA=9，
bcsinA=6可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设
=
，
=
则|
|=|
|=1，
=(1，0) ，
=(0，1)，由
=x
+y
=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12而
+
=
(
+
) (4x+3y)，利用基本不等式求解最小值．
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| CP |
| CA |
| CB |
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
解答：
解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵
•
=9，S△ABC=6
∴bccosA=9，
bcsinA=6
∴tanA=
，根据直角三角形可得sinA=
，cosA=
，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设
=
，
=
则|
|=|
|=1，
=(1，0) ，
=(0，1)
∴
=x
+y
=（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
+
=
(
+
) (4x+3y)=
(7+
+
)≥
+
故所求的最小值为
+
故选：C
解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵
| AB |
| AC |
∴bccosA=9，
| 1 |
| 2 |
∴tanA=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
| CP |
| CA |
| CB |
设
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 12 |
| 3y |
| x |
| 4x |
| y |
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
故所求的最小值为
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
故选：C
点评：题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的
是一个单位向量，从而可用x，y表示
，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值
| ||
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| CP |
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