Question

已知f（x）=ax-x³（x∈R）在区间内是增函数．
（Ⅰ） 求a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）的极小值为-2，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，当时，f'（x）≥0，即a-3x²≥0成立，从而可求a的范围；
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x²=0，得．由（Ⅰ）知，．再进行分类讨论，确定当时，f（x）取极小值．从而得解．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a-3x²，（1分）
依题意，当时，f'（x）≥0，即a-3x²≥0成立，（3分）
∴，故所求a的范围是．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x²=0，得．由（Ⅰ）知，．
当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．
所以，当时，f（x）取极大值．
当时，f'（x）＜0； 当时，f'（x）＞0．
所以，当时，f（x）取极小值．（10分）
于是，，即，解得a=3．   （12分）
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值，由于含有参数，故应进行分类讨论．