Question

4．已知函数f（x）=λsinωx-cosωx（ω＞0），其图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且直线$x=\frac{π}{6}$是它的一条对称轴．
（1）求实数λ的值；
（2）设函数$g（x）=f（x）+cos（2x-\frac{2π}{3}）$，求g（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的周期以及函数的对称轴，列出方程求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出相位x的范围，利用正弦函数的有界性求解即可．

解答 解：（1）由题意知函数f（x）的周期T=π，∴ω=2，
∴f（x）=λsin2x-cos2x，又直线$x=\frac{π}{6}$是f（x）的图象的一条对称轴，
∴$f（0）=f（\frac{π}{3}）$，即$-1=λsin\frac{2π}{3}-cos\frac{2π}{3}$，解得$λ=-\sqrt{3}$．
（2）由（1）知$f（x）=-\sqrt{3}sin2x-cos2x$，
∴$g（x）=-\sqrt{3}sin2x-cos2x+cos（2x-\frac{2π}{3}）$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x$=$-\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$．
∵$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$，∴$-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴$-\sqrt{3}≤-\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{3}{2}$，
即g（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上的值域为$[{-\sqrt{3}，\frac{3}{2}}]$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的简单性质的应用，考查计算能力．