Question

△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0．
（1）求直线AB的方程；
（2）求直线BC的方程；
（3）求△BDE的面积．

Answer 1

分析：（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；
（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；
（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S_△BDE即可．
或求出BE，D到BE的距离d，计算S_△BDE．

解答：解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y-4=0，
∴直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；
（2）由

2x-y+1=0 2x+y-3=0

，得

x= 1 2 y=2

，
即直线AB与AC边中线BE的交点为B（

1

2

，2）；
设C（m，n），
则由已知条件得

m+2n-4=0 2× m 2 + n+1 2 -3=0

，
解得

m=2 n=1

，∴C（2，1）；
∴所以BC边所在的直线方程为

x- 1 2

2- 1 2

=

y-2

1-2

，即2x+3y-7=0；
（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），
∴E到AB的距离为：d=

2

5

；
又点B到CD的距离为：BD=

1

2 5

，
∴S_△BDE=

1

2

•d•BD=

1

10

．
另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），
∴BE=

5

2

，
由

2x-y+1=0 x+2y-4=0

，
得

x= 2 5 y= 9 5

，∴D（

2

5

，

9

5

），
∴D到BE的距离为：d=

2

5 5

，
∴S_△BDE=

1

2

•d•BE=

1

10

．

点评：本题考查了求直线的方程以及点到直线的距离公式的应用问题，是基础题．