Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+bx+1

是奇函数：
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，列出等式，即可求实数a和b的值；
（2）求导函数，确定导数小于0，即可确定函数y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）利用函数的单调性与奇偶性，不等式可转化为t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，由此可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

x+a

x2+bx+1

是奇函数
∴由定义

-x+a

x2-bx+1

=-

x+a

x2+bx+1

，
∴a=b=0；
（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

，∴f′(x)=

-x2+1

(x2+1)2

∵x＞1，∴f′（x）＜0，∴y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（3）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t²-2t+3）＜f（1-k）
因为t²-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，
所以t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，
因为t²-2t+3的最小值为2，所以2＞1-k，∴k＞-1
∵k＜0，∴-1＜k＜0．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，确定函数的单调性，转化为具体不等式是关键，