Question

已知函数f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）通过两角和的正弦函数化简函数f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a，然后利用二倍角公式，升角降次，再用两角和的正弦函数化为：2sin(2x+

π

6

)+1+a．通过最值直接求a的值，利用周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）借助正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调增区间，选择适当的k值，求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=4cosx•sin(x+

π

6

)+a=4cosx•(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+a
=2

3

sinxcosx+2cos2x-1+1+a=

3

sin2x+cos2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+1+a．（4分）
∴当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a，
又f（x）的最大值为2，∴3+a=2，即a=-1．（5分）
f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．（6分）
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+

π

6

)（7分）
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．（8分）
得∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．（10分）
∵x∈[0，π]∴f（x）的单调增区间为[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]（12分）

点评：本题是中档题，考查利用三角函数的有关公式化简三角函数表达式，求三角函数的最值、周期，单调增区间等知识，正确应用公式化简，是解好这类问题的前提．