Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）；（3）详见解析．

【解析】

(1)对函数求导,再根据的正负分类讨论单调性即可;

(2)解法一:若恒成立,即,根据(1)中的单调性求出其最大值即可列式求解;解法二:若恒成立,即恒成立,构造函数,利用导数求出其最大值即可得出结论;

(3)由(2)知当时,有在恒成立,令,即可推出,再对不等式两边累加求和,即可推出结论.

(1)函数的定义域为,,

①当时,,则在上是增函数;

②当时,由,得;由,得,

则在上是增函数,在上是减函数.

(2)解法一:

由(1)知时,在递增,而,

所以不恒成立,故,

又由(1)知时,

因为恒成立,

所以,解得,

所以实数的取值范围为.

解法二:

由题意知,因为恒成立,所以恒成立,

令,则,

令,令,

所以在上递增,在上递减,

所以,

所以实数的取值范围为.

(3)由(2)知,当时,有在恒成立,

令,则,

即,从而,

所以,

即.