题目内容
设双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
=λ
+μ
（λ，μ∈R），λ•μ=
，则双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OA |
| OB |
| 3 |
| 16 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：双曲线的简单性质
专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由共线向量式可得λ+μ=1，λ-μ=
，解之可得λμ的值，由λ•μ=
可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
| b |
| c |
| 3 |
| 16 |
解答：
解：双曲线的渐近线为：y=±
x，设焦点F（c，0），则
A（c，
），B（c，-
），P（c，
），
因为
=λ
+μ
，
所以（c，
）=（（λ+μ）c，（λ-μ）
），
所以λ+μ=1，λ-μ=
，
解得：λ=
，μ=
，
又由λμ=
，得：
=
，
解得：
=
，
所以，e=
=
．
故选：A．
| b |
| a |
A（c，
| bc |
| a |
| bc |
| a |
| b2 |
| a |
因为
| OP |
| OA |
| OB |
所以（c，
| b2 |
| a |
| bc |
| a |
所以λ+μ=1，λ-μ=
| b |
| c |
解得：λ=
| c+b |
| 2c |
| c-b |
| 2c |
又由λμ=
| 3 |
| 16 |
| c2-b2 |
| 4c2 |
| 3 |
| 16 |
解得：
| a2 |
| c2 |
| 3 |
| 4 |
所以，e=
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
故选：A．
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属于中档题．
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