Question

直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点．
（1）求△AOB面积最小值时l的方程；
（2）|PA||PB|取最小值时l的方程．

Answer 1

解：（1）设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，
点P（2，1）代入得
≥2，
∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），
故三角形OAB面积S=ab≥4，
此时直线方程为：，即x+2y﹣4=0．
（2）设直线l：y﹣1=k（x﹣2），
分别令y=0，x=0，得
A（2﹣，0），B（0，1﹣2k）．
则|PA||PB|==≥4，
当且仅当k²=1，即k=±1时，|PA||PB|取最小值，
又∵k＜0，
∴k=﹣1，
l的方程为x+y﹣3=0．