Question

如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，且，记△BDF的面积为s=f（λ₁，λ₂，λ₃），则S的最大值是
【注：必要时，可利用定理：若a，b，c∈R⁺，则，（当且仅当a=b=c时，取“=”）】

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由三角形ABC的面积为1且 可求三角形ADE的面积，再由△DMB∽△DEA可得 从而有 ，求出三角形DEF的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值
解答：分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h₁，AN=h₂
则==λ₁λ₂
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DNA
∴=
从而有 ==
∴S=λ₂•λ₃（1-λ₁）=
当且仅当 λ₂=λ₃=1-λ₁=取等号即S的最大值为
故选：D

点评：本题以向量的共线为切入点，利用向量的共线转化为线段的长度关系，解决本题的关键是根据三角形的面积公式先求出三角形ADE的面积；关键二是把所求的三角形的面积与三角形ADE的面积之间通过三角形的像似建立联系．本题是一道构思非常巧妙的试题，要求考试不但要熟练掌握基础知识，更要具备综合解决问题的能力．