Question

在平面直角坐标系中,已知双曲线.

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积;

（2）设斜率为1的直线交于P、Q两点,若与圆相切,

求证:OP⊥OQ;

Answer 1

 解：（1）双曲线,左顶点,渐近线方程:. 1分

过点A与渐近线平行的直线方程为

,即. 2分

解方程组,得  3分

所求三角形的面积为  4分

(2)设直线PQ的方程是.

因直线与已知圆相切, 故,即  5分

由,得. 6分

设P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂),则.

又,所以

 

, 故OP⊥OQ  8分

(3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 9分

当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.

由,得,

所以. 同理 10分

设O到直线MN的距离为d,因为

, 11分

所以,即d=.

综上,O到直线MN的距离是定值。  12分