Question

已知函数定义在上，对任意的，，且.

（1）求，并证明：；

（2）若单调，且.设向量，对任意，恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）借助于特殊值得，然后把变形

= 即可，（2） 首先判断出函数是增函数，然后找出，代入整理的，最后用分类讨论的思想方法求出即可.

（1）令得，又∵，， 2分

由得=，

∵，∴. 5分

（2） ∵，且是单调函数，∴是增函数. 6分

而，∴由，得，

又∵因为是增函数，∴恒成立，.

即. 8分

令，得 (﹡).

∵，∴，即.

令， 10分

①当，即时，只需，(﹡)成立，

∴，解得； 11分

②当，即时，只需，(﹡)成立，

∴，解得，∴. 12分

③当，即时，只需，(﹡)成立，

∴， ∴， 13分

综上，. 14分

考点：抽象函数；函数的单调性；向量的数量积公式；不等式恒成立的问题；分类讨论的思想方法.